Расчет математического ожидания в покере

В покере мало простых решений. Примерно в 80% случаев неясно, является ли ставка правильной. Математическое ожидание в покере — это средний выигрыш на дистанции в одинаковых ситуациях (начальная рука, карты на столе, величины стеков и взносов).

При принятии решений можно угадывать. Однако плюсовые игроки всегда точно оценивают свой ожидаемый профит в схожих ситуациях. В этой статье будут рассмотрены несколько примеров расчета среднего выигрыша для префлопа и постфлопа.

Значение математического ожидания в покере

Англоязычный научный термин — Expected Value («ожидаемое значение»). Сокращенно термин обозначается «EV». В российской литературе пишут «математическое ожидание» или «МО».

Обозначение «+EV» читается как положительное или плюсовое матожидание, «−EV» — это отрицательное МО.

EV в азартных играх, в том числе в онлайн-покере, вычисляется в процентах от ставки.

Примеры:

• В баккара у игрока МО составляет -1%.
• В рулетке — минус 2.7%.

Сколько долларов будет выиграно или потеряно за 100 ставок по $1? В баккара ожидаемый убыток игрока составит 1 доллар, в рулетке — 2 доллара 70 центов.

Чтобы вычислить математическое ожидание в покере, нужно знать суммы возможного профита или убытка и вероятности получения конкретного либо положительного, либо отрицательного результата.

Для составления формулы необходимо:

• Перемножить суммы и вероятности выигрыша и потери.
• Из одного произведения вычесть другое.

При положительном результате бет или колл будут выгодны. Если цифра минусовая, нужно выходить из раздачи.

Формула матожидания

Против казино и вероятности, и суммы известны. Они определены математикой правил. В покере точно знать размер выигрыша можно только в ситуации олл-ина. Вероятности всегда будут оценочными.

Принципы расчета показателя EV

Теория сложна для начинающих игроков. Ниже рассмотрены примеры конкретных ситуаций, когда вероятности можно оценить с точностью до 2-3%.

Колл на флопе с флеш-дро против короткого стека:

• Безлимитный Техасский Холдем, кеш. Игрок на большом блайнде с рукой 8♣7♣.
• Тайтовый оппонент делает префлоп-рейз 3 ББ с ранней позиции.
• Колл игроков на средней позиции, баттоне и большом блайнде.
• Флоп: K♠3♣2♣. В банке 12.5 ББ. Первый оппонент ставит 12.5 ББ. Это последние фишки — олл-ин.
• Два противника фолдят.

Текущая задача — определить, выгоден ли колл на флопе в поисках флеша.

Выгоден ли колл на флопе с флеш-дро?

Перечисление возможных исходов

В этом примере представлены два основных исхода в случае колла на флопе:

1. Выиграть на вскрытии с флешем 25 ББ (текущий банк плюс ставка оппонента).
2. Потерять сумму колла, не собрав комбинацию, — 12.5 ББ.

Другие исходы — несколько процентов. Это проигрыш флеша сету, ситуация «флеш под флеш», а также победа при восьмерке или семерке одновременно на терне и ривере.

Как уменьшить множество исходов и оставить наиболее вероятные? Это делают на основе анализа статистики оппонента. В рассматриваемой ситуации противник тайтовый.

Это означает, что:

• В ранней позиции у него сильные карманные пары и A-J+.
• Ставка против трех соперников на флопе говорит о наиболее вероятной комбинации — паре (карманные тузы или совпадение по королю).

Такая простая ситуация будет 1 раз из 20.

Определение вероятностей

Шансы купить флеш на двух улицах равны 35%. Это начальные знания. Приняв решение играть в покер, необходимо выучить таблицы основных вероятностей.

Когда комбинацию оппонента сложно определить точно, используется расчет против множества начальных рук, т.е. спектра.

В примере получаем соотношение вероятностей выигрыш/потеря 0.35 к 0.65.

Решение блоков

За столом никаких вычислений нет, так как на ход дают не больше 15 секунд. Расчеты нужно делать заранее для стандартных ситуаций. У каждого покериста должны быть готовы несколько «болванок» — таблиц для колла с дро, продолженной ставки, блефа на ривере и т.д.

Матожидание положительно. В похожих ситуациях средний выигрыш будет составлять около 1 большого блайнда. Рейк равен 5% с банка 37.5 ББ — 1.86 ББ. Таким образом, решение о колле с флеш-дро является пограничным.

Что влияет на показатель EV

Выше были рассмотрены простые примеры. Обычно анализ более сложен. МО в каждой раздаче может быть выше или ниже за счет многочисленных факторов.

Некоторые из них:

• Дополнительный выигрыш при больших стеках — потенциальные (или подразумеваемые) шансы банка.
• Добавочный профит за счет фолда оппонента — фолд-эквити.
• Недополученная прибыль при овербетах противника.

2 или 3 вероятности при расчете МО — редкая ситуация. Начиная с флопа, в дереве шансов может быть более 10 ветвей: фолды, коллы, рейзы при разных соотношениях размера стека и банка.

Стоит тренировать расчет матожидания для конкретной ситуации на определенной улице. Вычисления для всей раздачи делают, когда результат получен за 1 или 2 шага: оба игрока пойдут в олл-ин или будет принято решение о фолде на флопе.

Ауты

Ауты — это недостающие карты для построения комбинации. Есть простой принцип оценки вероятности на основе их количества. Количество нужных карт, оставшихся в колоде, следует умножить на количество улиц и умножить на 2.

Примеры:

• Покупка флеша на флопе: 9 × 2 × 2 = 36% — небольшая разница с расчетной вероятностью 0.35.
• Поиск стрита, открытого с двух сторон на терне: 8 × 1 × 2 = 16%. Расчетное значение — 17.4%.

В случае количества аутов 10 и более для точности оценки из произведения вычитают 2 или 3. Вычисления для 15+ аутов не имеют смысла, поскольку это либо олл-ин на флопе, либо выставление стека на терне.

В таблице представлены точные значения вероятностей для одной и двух улиц.

Шансы банка

Для оценки выгоды колла мало знания вероятностей. На потенциальный выигрыш влияют размеры стека оппонента и банка. В рассмотренной выше раздаче с флеш-дро против пары колл выгоден при ставке оппонента в 2/3 пота.

В примере был олл-ин на флопе. Это очень редкая ситуация. Когда оппонент может ставить на двух последних улицах, рассматривают потенциальные шансы банка (Implied Odds).

Если соперник не в олл-ине, на флопе невыгодно уравнивать ставки в 25% банка и выше.

В реальности действует другие простые правила:

• С двусторонним стрит-дро (8 аутов) можно коллировать ставку размером в банк на флопе, если затем на терне и ривере с оппонента можно получить по 1/2 банка.
• На терне с 8 аутами можно уравнивать, если на ривере соперник примет ставку размером примерно в пот.

Так играют, если комбинация скрытая, а у оппонента не ожидается более сильная рука.

Реальные примеры расчета

Еще один простой пример, как рассчитывается математическое ожидание в покере. Цель вычислений — выяснить, делать продолженную ставку на флопе или сыграть чек-фолд.

Условия:

• NL Hold'em, кеш.
• Игрок делает префлоп-рейз со средней позиции с 8♣7♣.
• Оппонент с большим количеством рук коллирует на баттоне.
• Флоп K♣5♥2♥. Банк 7.5 ББ.

Выгодна ли продолженная ставка без руки против регуляра

Порядок действий:

1. Посмотреть значение параметра Fold to C-Bet. Допустим, он равен 45%. Это нормальный показатель для регуляров коротких столов.
2. Посмотреть значение CCPF — Cold Call Preflop. Предположим, оно равно 8. Это означает колл на префлопе в основном с карманными парами.
3. Оценить спектр начальных рук оппонента, вспомнив сделанные ранее вычисления в покерном калькуляторе Equilab. Вывод: у противника возможны карманные пары от 2-2 до T-T и A-T+, K-J+.
4. Определить силу комбинации оппонента на флопе. Вывод из спектра начальных рук: вероятность сета или совпадения по королю равна ~33%.
5. Оценить шансы фолда на ставку продолжения размером в 2/3 пота. Реальная цифра — ~50%.
6. Составить блок вычислений.

Стоит играть полный блеф, то есть изображать пару королей, учитывая среднюю позицию префлоп-рейза, статистику на оппонента и его спектр начальных рук.

Спектр начальных рук 8% префлоп-колла

Часто задаваемые вопросы